АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА G-ФУНКЦИИ МЕЙЕРА С ДВУМЯ МНИМЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
УДК 517.588
Ключевые слова: асимптотическое разложение, G-функция Мейера, преобразования по индексу, функции Бесселя, формула Стирлинга, гамма-функции Эйлера.
Для цитирования: Яроцкая Л. Д. Асимптотические свойства G-функции Мейера с двумя мнимыми параметрами // Труды БГТУ. Сер. 3, Физико-математические науки и информатика. 2022. № 2 (260). С. 14–20. DOI: https://doi.org/10.52065/2520-6141-2022-260-2-14-20.
Аннотация
Проблема асимптотических разложений специальных функций по индексам или параметрам возникает в связи с исследованием некоторых классов интегралов и преобразований по индексам. Наиболее общей специальной функцией гипергеометрического типа является G-функция Мейера. Важность G-функции в значительной степени связана с возможностью выразить через G-символ большое число специальных функций и их комбинаций, встречающихся в прикладной математике.
Работа посвящена изучению асимптотических свойств G-функции Мейера специального вида с двумя мнимыми параметрами, когда их значения по абсолютной величине достаточно велики. Показано, что рассматриваемая функция при частных значениях параметров обобщает ядра известных интегральных преобразований по индексу, в частности, преобразований Конторовича – Лебедева, Мелера – Фока, Олевского, Лебедева и других. С помощью теоремы Слейтер записано представление G-функции в виде линейной комбинации обобщенных гипергеометрических рядов со степенными множителями.
Для функций гипергеометрического типа справедливо свойство иметь своим преобразованием Меллина отношение произведений гамма-функций Эйлера, асимптотика которых в соответствии с формулой Стирлинга известна. Записана формула Стирлинга для гамма-функции Эйлера комплексного аргумента, у которого мнимая часть неограниченно увеличивается, а действительная фиксирована. Установлены асимптотические оценки G-функции Мейера специального вида, у которой мнимая часть двух параметров неограниченно возрастает. Показано, что полученное разложение включает в себя в качестве частных случаев известные в литературе некоторые представления функций Бесселя и родственных им функций.
Список литературы
- Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования // Итоги науки. Математический анализ. 1966. М.: ВИНИТИ АН СССР. 1967. C. 7–82.
- Wimp J. A class of integral transforms // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1964. Vol. 14, no. 2. P. 33–40. DOI: 10.1017/S0013091500011202.
- Yakubovich S. B., Luchko Yu. F. The hypergeometric approach to integral transforms and convolutions. Ser. Mathematics and its Applications. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1994. Vol. 287. 336 p.
- Yarotskaya L. D. On index transforms with Meijer`s G-function kernels // Integral Transforms and Special Functions. 2000. Vol. 10, no. 3−4. P. 309–320. DOI: 10.1080/10652460008819294.
- Yakubovich S. B., Saigo M., Gusarevich L. D. Some asymptotic expansions of special functions by their indices // Fukuoka Univ. Sci. Reports. 1995. Vol. 25, no. 1. P. 23–32.
- Yakubovich S. B. Index transforms. Singapore: World Scientific Publ., 1996. 252 p.
- Яроцкая Л. Д. Асимптотические представления по индексу функций бесселевого типа // Труды БГТУ, Сер. VI, Физ.-мат. науки и информатика. 2004. Вып. XII. С. 18−21.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1973. 295 с.
- Маричев О. И. Метод вычисления интегралов от специальных функций (теория и таблицы формул). Минск: Наука и техника, 1978. 312 с.
- Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 800 с.
- Яроцкая Л. Д. Асимптотические представления по параметрам G-функции Мейера специального вида // Труды БГТУ. Сер. 3, Физико-математические науки и информатика. 2017. № 2 (200). С. 28–32.
- Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. 334 с.